チェビシェフ多項式1

2019年3月17日

チェビシェフ多項式の問題をいくつか。

1.B (東京慈恵会医大)
\cos\dfrac{2\pi}{7}+\cos\dfrac{4\pi}{7}+\cos\dfrac{6\pi}{7}=a,~\cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{4\pi}{7}\cos\dfrac{6\pi}{7}=bとする.abの値を求めたい.
(1) 角\theta(ラジアン)が\cos 3\theta=\cos 4\theta…①を満たすとき,解の1つが\cos\thetaであるような4次方程式を求めよ.
(2) \theta=\dfrac{2\pi}{7}のとき,\cos\thetaが解の1つであるような3次方程式を求めよ.
(3) (2)の結果を用いて,aおよびbの値を求めよ.

解答

2.B (同志社大)
0<\theta<\piとし,t=\cos 2\thetaとおく.
(1) \dfrac{\sin 3\theta}{\sin\theta}\dfrac{\sin 5\theta}{\sin\theta}をそれぞれtを用いて表せ.
(2) \sin 5\theta=0となる\thetaのうち,0<\theta<\piにおいて最小のものの値を求めよ.
(3) \cos\dfrac{2}{5}\piの値を求めよ.

解答

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