漸化式

漸化式型積分方程式です。まずは定積分型から。定積分は定数なので$a_n$などとおくのが定石です。

１．(名古屋大)
関数列$\{f_n(x)\}$を次のように定義する．
$f_1(x)=x,~f_n(x)= ...

解ける漸化式の基本パターンをまとめておきます。難関大では解ける漸化式を解いておしまいという問題はほとんど出題されませんが、解けるものと解けないものを区別できる力、また、解ける形になったときに確実に解ける力が必要とされます。ここにあげる ...

予測型の漸化式と極限の問題です。

１．(東京工業大)
数列$\{a_n\}$を$a_1=5,~a_{n+1}=\dfrac{4a_n-9}{a_n-2}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$で定める．また数列$ ...

項の置き換え型の漸化式と極限の問題です。

１．(東京大)
数列$\{a_n\}$の項が$a_1=\sqrt{2},~a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots)$によって与えられ ...

その他の漸化式の問題です。

１．(北海道大)
複素数$a_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)$を次のように定める．
$a_1=1+i,~a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2a_n-3}$

まずは準備から。

１．(一橋大)
$f(x)=x(4-x)$とする．$0 \leqq a_1 \leqq 4$に対して，$a_2=f(a_1),~a_3=f(a_2)$と定める．
(1) $a_1 \ne ...

コラッツの問題をアレンジした問題です。コラッツの問題は$a_n$が奇数のときは$a_{n+1}=3a_n+1$です。これについてはまだ未解決のようです。

１．(芝浦工業大)
$a_1$を自然数とし，
$a_ ...

次は、実験して規則を見出すタイプです。難関校の入試では何でも解こうとするのではなく、初等的解法で解けないときは実験して活路を見出すという姿勢が大切です。初等的に解ける方がむしろ少ないかもしれません。

１．(東京水産大)

次は第$n$項を三角関数などで置き換え何とか解こうとするタイプです。

１．(福井大)
数列$\{a_n\}$について，$a_1=1,~a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}~(n=1,~2,~3,~\cdots) ...

次は回転型の漸化式です。これも循環しますが原理は回転です。理系の人は複素数平面を使って漸化式が複素数平面上でどのような変換になっているかを考えてみて下さい。当然行列でもできます。

１．(信州大)
数列$\{a_n\ ...