数学Ⅲ 積分法とその応用

極方程式で表された曲線で囲まれる部分の面積についてです。

1.B (大阪市立大)
$xy$平面において,原点Oを極とし,$x$軸の正の部分を始線とする極座標$(r,\theta)$に関して,極方程式$r=1+\co ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

最後にインボリュート、リサジューで囲まれる部分の面積です。

1.B (芝浦工業大)
原点Oを中心とする半径$a$の円に糸がまきつけられていて,糸の端は点A$(a,0)$にあり,反時計回りにほどける.いま,糸をたわむ ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

13の続きです。エピサイクロイド (外サイクロイド)で囲まれる部分の面積についてです。

1.B (大阪府立大)
座標平面上に,原点Oを中心とする半径2の固定された円$C$と,それに外側から接しながら回転する半径1の ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

11の続きです。ハイポサイクロイド (内サイクロイド)に囲まれる部分の面積についてです。

1.C (東京大)
半径10の円$C$がある.半径3の円板$D$を,円$C$に内接させながら,円$C$の円周に沿って滑ること ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

10の続きです。次は有名な曲線に囲まれる部分の面積についてです。まずはサイクロイドから。

1.A (筑波大)
曲線$\left\{\begin{array}{l}
x=t-\sin t\\
y=1- ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

次は媒介変数表示された曲線で囲まれる部分の面積です。

1.A
次の媒介変数表示の曲線と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ.
(1) $x=2t+1,~y=2t-t^2~(0 \leqq t \leqq ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

8の続きです。双曲線によって囲まれる部分の面積ですが、積分計算が面倒な置換積分になります (ちなみに回転体の体積を求めるのは簡単です)。

1.B (秋田大)
(1) $x+\sqrt{x^2-1}=t$とおくことに ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

次は2次曲線がらみの面積の問題です。1の(1)は楕円を回転させたものです。(2), (3)は2次曲線ではありませんが(1)と類似した問題です。

1.B ((1) 芝浦工業大 (2) 名古屋大 (3) 山形大)
(1 ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

次は円がらみの面積の問題です。

1.B (愛知教育大)
座標平面上で関数$y=e^x$のグラフを$C_1$とし,$C_1$上の点Pにおける接線と$x$軸が$\dfrac{\pi}{3}$の角で交わるとする.第1象限 ...

数学Ⅲ 積分法とその応用

次は接線がらみの面積の問題です。

1.B (琉球大)
$x \geqq 0$において,関数$f(x)=-xe^{-x^2}$を考える.
(1) $y=f(x)$の接線で,傾きが最大であるものを求めよ.